TEXTAUFGABEN

Wozu gibt es eigentlich Textaufgaben?

 

Wenn wir immer nur Aufgaben bekommen, die einer vorgefertigten Schablone entsprechen, werden wir nie lernen aus irgendwelchen Daten Gleichungen zu entwickeln, mit denen wir ein Problem mit mathematischen Mitteln lösen können.

 

Worum geht es nun genau?

 

Der Text enthält Informationen, die wir in Gleichungen umsetzen sollen. Es ist wie ein Rätsel, dass es zu lösen gilt.

Versuchen wir es einmal mit einem Beispiel:

 

Aufgabe:

 

Olli ist 3 Jahre älter als Anne.

Annes Vater ist dreimal so alt wie Anne.

Und Annes Mutter ist 3 Jahre jünger, als Annes Vater.

Im Durchschnitt sind alle vier 40 Jahre alt.

Wie alt ist jeder der vier?

 

Jetzt gilt es also erst einmal den Text genau durchzulesen. Welche Informationen verstecken sich in den Sätzen? Einen nach dem anderen sollen wir dann in Gleichungen umwandeln.

 

Da es um vier Personen geht und von allen vier das Alter herausgefunden werden soll, geben wir

erst einmal allen vieren einen Buchstaben, damit wir diesen als Variable für ihr Alter nutzen können.

 

Schritt 1:

Festlegung von Buchstaben, um sie in die Gleichungen einzusetzen

 

O   =   ist das Alter von Olli

A   =   ist das Alter von Anne

V   =   ist das Alter des Vaters von Anne

  =   ist das Alter der Mutter von Anne

 

Damit haben wir schon einmal einen ersten wichtigen Schritt zur Abstrahierung vollzogen.

Jetzt gehen wir daran die Gleichungen aufzustellen.

 

Schritt 2:

Aufstellen der Gleichungen

 

O   =   A + 3

  =   3 * A

  =   V - 3

 

Damit haben wir schon einmal die ersten drei Sätze in eine Gleichung gefasst.

Der vierte Satz ist aber noch ein wenig schwierig. Wie sollen wir den umsetzen?

Es sind vier Personen. Und das Durchschnittsalter soll 40 Jahre sein.

Also, wenn wir alle vier Buchstaben zusammenzählen und dann diese Summe noch durch vier teilen, erhalten wir das Durchschnittsalter.

 

( O + A + V + M )  /  4  =  40

 

Noch sieht es nicht danach aus, als ob man damit so richtig etwas anfangen kann.

 

Verraten wir ein paar Geheimnisse:

 

1)

Wir brauchen genauso viele Gleichungen, wie es unbekannte Zahlen gibt, damit man die Gleichungen eindeutig lösen können. Hätten wir nur drei Gleichungen, so wäre es unmöglich vier Unbekannte herauszufinden.

 

2)

Wir müssen nun die Gleichungen so einsetzen, dass nur noch eine Unbekannte in einer der Gleichungen ist. Wenn wir diese kennen, so können wir eine nach der anderen Gleichung lösen.

 

Machen wir es so. Wir versuchen unsere drei ersten drei Gleichungen so umzustellen, dass auf der rechten Seite nur noch A als unbekannte Zahl ist.

Bei zwei der Gleichungen ist dies schon der Fall.

Nur bei der dritten müssen wir  V  noch durch   3 * A  ersetzten.

Hier also, wie die drei Gleichungen dann aussehen, wenn wir die dritte angepasst haben.

 

Schritt 3:

Umstellen der Gleichungen

 

O     =    A + 3

V     =     3 * A

M    =     3 * A - 3

 

Nehmen wir uns die vierte Gleichung einmal vor:

 

( O + A + V + M )  /  4  =  40

 

Wie bei einer Waage müssen wir auf der linken und rechten Seite immer dieselbe Rechenoperation ausführen. Dann bleibt die Gleichung im Gleichgewicht.

In unserem Fall fangen wir damit an, dass wir beide Seiten mit 4 multiplizieren.

 

O + A + V + M     =     160

 

In dieser Gleichung haben wir noch 4 Unbekannte.

Wenn wir die drei Gleichungen einsetzen und O, V und M ersetzen, bekommen wir diese Gleichung:

 

Schritt 4:

Einsetzen der umgestellten Gleichungen

Und Berechnung der ersten Unbekannten

 

A + 3   +   A   +  3 * A    +    3 * A - 3     =     160

 

Jetzt müssen wir die Gleichung noch umrechnen.

 

8 *     =     160

A          =       20

Damit haben wir schon einmal das erste Ergebnis. Anne ist 20 Jahre alt.

Jetzt können wir dies in die drei Gleichungen oben einsetzen.

 

Schritt 5:

Berechnung aller anderen Unbekannten

 

O     =    A + 3         =   23

V     =     3 * A         =   60

M    =     3 * A - 3    =   57

Jetzt haben wir das Alter von allen vier Personen heraus gefunden. So wie es von uns in der Aufgabe gefordert wurde.