ALTERNATIVEN - WAS WÄRE WENN

Was wäre wenn ....?

 

Wir haben jetzt bereits kennen gelernt, dass unser Dezimalsystem (10-er System) nicht das einzig mögliche System ist. Abgesehen von den historischen Systemen stellt sich die Frage, welches wir noch hätten wählen können.

 

Wenn das Zahlensystem auf einer ungeraden Zahl basieren würde, so sind die 10, 100 und 1000 geschriebenen Zahlen nicht ohne Rest durch die Zahl 2 teilbar.

 

Schauen wir uns exemplarisch das  1-mal-1  des  3-er Systems  an:

 

 

Wenn wir uns die Spalte unter der 2 ansehen, sehen wir deutlich, daß es, bei Nutzung einer ungeraden Zahl als Basis, unmöglich ist

auf den ersten Blick zu sehen, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist.


Am Ende einer geraden Zahl können sowohl die Ziffern 0, 1 und 2 erscheinen.

 

Sehr unpraktisch, da doch die wichtigste Teilung einer Zahl diejenige durch 2 ist.

 

Wir können also davon ausgehen,

daß sich  ein System mit einer geraden Zahl als Basis eher anbietet.

 

Was wir aber schon hier erkennen, ist, dass ein System mit einer kleinen Zahl als Basis sehr schnell zu sehr langen Zahlen führt.

 

So ist im 3-er System:           100 * 100 = 10.000

Sieht doch ganz passabel aus, oder?

Nicht mehr, wenn wir es im Dezimalsystem betrachten:          3 * 3 = 9 


Noch extremer wird es beim Dualsystem: 

 

Schon 12 * 12 führt zu einer 8-stelligen Zahl,

absolut ungeeignet für den normalen Gebrauch.


Überlassen wir dieses also den Computern, die dabei den Überblick nicht verlieren. 

Teilbarkeit durch 2, wenn die letzte Stelle der Zahl eine 0 ist.


Für die nächsten Möglichkeiten, das 4-er und das 6-er System gilt dies im Grund auch.

Daher lassen überspringen wir diese beiden Möglichkeiten.

 

 

Schauen wir uns als nächstes das Oktalsystem an:

 

Gar nicht so schlecht. Aber bei den Teilern ist nur das Teilen mit 2 und 4 leicht ablesbar.

Teilbarkeit durch 2, wenn die Zahl mit  2, 4, 6 und 0 endet.

Teilbarkeit durch 4, wenn die Zahl mit 4 oder 0 endet.

Nicht gerade viel. 

Immerhin ist an der letzten Stelle klar ablesbar, dass es sich um eine gerade Zahl handelt.



Und nun schauen wir uns das Hexadezimalsystem an:


Noch besser, denn hier ist die Teilbarkeit durch 2, 4 und 8 gut ablesbar.

Teilbarkeit durch 2, wenn die Zahl mit  2, 4, 6, 8, a, c, e oder 0 endet.

Teilbarkeit durch 4, wenn die Zahl mit  4, 8, c oder 0 endet.

Teilbarkeit durch 8, wenn die Zahl mit  8 oder 0 endet.

Leider aber ist die Teilbarkeit durch 3 hier auch nicht ablesbar,

genauso wie in unserem gewohnten Dezimalsystem.


Das 8-er und 16-er System werden übrigens auch in der Datenverarbeitung angewendet.

Denn im Computer baut ja alles auf einem Vielfachen von 2 auf, und es hat keinen Sinn, wenn wir 4 Bits verwenden und dabei nicht die möglichen  2^4 = 16 Möglichkeiten auswerten würden.



Als letztes Beispiel hier das Duodezimalsystem:


 

Unglaublich. Es hat eine ganz besondere Eigenschaft.

Hier ist die Teilbarkeit durch 2, 3, 4 und 6 auf einen Blick an der letzten Stelle ablesbar !

Teilbarkeit durch 2,   wenn die hinterste Ziffer eine 2, 4, 6, 8, a oder 0 ist

Teilbarkeit durch 3,   wenn die hinterste Ziffer eine 3, 6, 9 oder 0

Teilbarkeit durch 4,   wenn die hinterste Ziffer eine 4, 8 oder 0

Teilbarkeit durch 6,   wenn die hinterste Ziffer eine 6 oder 0

 

Kopfrechnen wäre mit diesem daher viel leichter als mit dem Dezimalsystem.

 

Nur haben wir leider kein 12-er System. Wir haben uns für das 10-er, das Dezimalsystem entschieden. Bei diesem sind nur die Teilung durch 2 und 5 an der letzten Stelle ablesbar.

Erläuterung:

 

In den obigen Tabellen sind die Quadratzahlen gelb unterlegt.

Und die linke untere Hälfte ist immer mit grauen Zahlen dargestellt, da dies eine Wiederholung der rechten oberen Hälfte ist.

 

Bei den Tabellen sind die Quadratzahlen die Spiegelachse.